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考研高等数学函数与极限知识点归纳

更新时间:21-09-27

【摘要】为考研高数苦恼的小伙伴们一定知道这种苦恼:泰勒展开.麦克劳林展开.夹逼定理.定积分不定积分.微分多元微分...一个好的起跑点对以后的复习准备非常重要,为大家整理了考研中高等数学函数和极限知识点相关信息。

【关键词】考研高等数学函数与极限

  为考研高数苦恼的小伙伴们一定知道这种苦恼:泰勒展开.麦克劳林展开.夹逼定理.定积分不定积分.微分多元微分...一个好的起跑点对以后的复习准备非常重要,为大家整理了考研中高等数学函数和极限知识点相关信息。

考研高等数学函数与极限

  函数与极限

  1.函数f(x)大于K1则函数f(x)在定义域上有下界,K1为下界;如果有f(x)≤K2,则存在上界,K2称为上界。在定义域中函数f(x)有界的充要条件是该定义域中有上界和下界。

  2.数列{xn}列{xn}的极限定理(极限的唯 一性)无法同时收敛于两个不同的极限。

  一个定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛,则{xn}肯定有界。

  若数列{xn}是无界的,则数列{xn}肯定是散度的;但是,如果数列{xn}有界,则无法判断数列{xn}一定收敛,比如1,-1,-1,-1,(-1)n+1…这个数列有界却有界发散,因此数列有界是数列收敛性的一个必要条件而非充分条件。

  一个定理(收敛数列与其子数列的关系){xn}收敛于a,则其任意一个子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛到不同的极限,如1,-1,1,-1,-1,-1,-1…中子数列{x2k-1}所收敛于1的中子数列{x2k-1}收敛{xnk}收敛于-1,而{xn}则是散度的;同时,还可以使一个发散数列的子列收敛性。

  3.函数在函数极限定义中定义0。

  公式(极限的局部保号)f(x→x0)时,f(x)=A,并且A>0(或A0(或f(x)>0)。

  在函数f(x)当x→x0时,存在极值的充要条件是,左极限右极限分别存在且相等,即f(x0-0)=f(x0+0),而limf(x)不存在。

  通常来说,如果lim(x→∞)f(x)=c,那么直线y=c表示函数y=f(x)的图形水平渐近线。当lim(x→x0)f(x)=∞时,直线x=x0表示函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

  4.极限运算法则定理的有限个无穷小之和也是无限小;有界函数与无穷小的乘积是无限小的;关于无限小量的乘积是无限小的,有限个无穷小的乘积也是无限小;定理如F1(x)≥F2(x)limF1(x)=a,limF2(x)=b,则a≥b。

  5.极限生存准则lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.如果有数列{xn}.{yn}.{yn}.{zn}满足以下条件:yn≤xn≤zn且limyn=a,limzn=a,则limxn=a,同样适用于函数。

  单调有界数列必然存在极限。

  6.函数的连续性设置函数y=f(x)在某一邻域上有一个定义,且当函数f(x)当x→x0时存在极限,当函数f(x0)连续于点x0处时,lim(x→x0)f(x)=f(x0)时,称为函数f(x)连续于点x0处。

  间断情况:1.在点x=x0没有定义;2.虽然在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在;3.虽然在x=x0有定义,并且lim(x→x0)f(x)存在,但是lim(x→x0)f(x)^f(x0)时,就说函数在x0处是不连续或间断的。

  若x0是函数f(x)的间断点,而左边极限和右边极限均存在,则称x0为函数f(x)的第 一类不连续点(左右等界)。不连续点的任何不连续点称为第二类不连续点(无限不连续点与振荡性间断点)。

  一个函数在某一点上连续的和.积.商(分母不是0)是在这一点上连续的函数。

  公式如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少并连续,则其反函数x=f(y)在相应区间Iy={y|y=f(x)时单调增加或减少且连续。在其定义域中,反三角函数是连续的。

  一个定理(最 大值最小值定理)连续于闭合区间的一个函数必须具有该区间的最 大值和最小值。假如一个函数是在开区间连续的,或者一个函数在闭合区间中存在间断,那么这个函数在这个区间上没有必要的最 大和最小值。

  一个定理(有界性定理)连续于闭区间内的函数必须在这一区间上有界,也就是,m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)连续于闭区间[a,b],而且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)

  关于闭合区间连续的函数,必须得到一个介于最 大值M和最小值m之间的值。